بررسی عدد احاطه ای رومی در گرافها

مجموعه های احاطه ‏‏گر موضوعی کاربردی و گسترده در نظریه ی گراف می باشد که به صورت های گوناگونی تعمیم یافته و مورد مطالعه قرار گرفته است. زیرمجموعه ی ‎$s$‎ از ‎$‎v(‎g)$‎ را یک مجموعه‎‏ ی احاطه ‏گر گویند هرگاه ‎$n[s]=v(g)$‎. کمترین اندازه ممکن برای یک مجموعه ی احاطه گر را عدد احاطه ای گویند و با ‎$gamma(g)$‎ ‎‏نمایش می دهند. تابع ‎$f:v(g) ightarrow {0,1‎, ‎2}$‎ را یک تابع احاطه گر رومی روی ‎$g$‎ گویند هر گاه هر رأس ‎$vin v(g)$‎ با ‎$f(v)=0$‎ دارای یک همسایه ‎‎‎‎‎‎مانند ‎$‎u‎‎$‎‎‎ باشد به طوری که ‎$f(u)=2$‎‎‏. وزن یک تابع احاطه گر رومی ‎$‎‎‎f‎$‎ به صورت ‎$omega(f)=sum_{uin v(g)}f(u)$‎ تعریف می شود. کمترین وزن‎‏ یک تابع احاطه گر رومی روی ‎$g$‎ را عدد احاطه ای رومی ‎$‎‎‎g‎$‎ گویند و با‎‏ ‎$gamma_{r}(g)$‎ نمایش می دهند. کمترین تعداد یال هایی که می بایست از گراف ‎$g$‎ حذف شود تا عدد احاطه ای رومی آن افزایش یابد را عدد بانداژ رومی گویند و آن را با ‎$b_r(g)$‎ نمایش می دهند. تابع احاطه گر ‎$f$‎‏ ‎‎از ‎$g$‎ را مهار شده گویند در صورتی که زیرگراف القایی توسط ‎$‎v_0‎$‎‎‏ دارای راس تنها نباشد. کمترین وزن یک تابع احاطه گر رومی مهارشده روی ‎$g$‎ را عدد احاطه ای رومی مهارشده ‎$g$‎ گویند و با ‎$gamma_{rr}(g)$‎ نمایش می دهند. یک تابع احاطه گر رومی ماکسیمال روی ‎$g$‎، یک تابع احاطه گر رومی است به طوری که ‎$v_0 = {w in v(g) | f(w)=0}$‎ یک مجموعه ی احاطه گر روی ‎$g$‎ نباشد. کمترین وزن ممکن برای یک تابع احاطه گر رومی ماکسیمال روی ‎$g$‎ را عدد احاطه ای رومی ماکسیمال ‎$g$‎ گویند و با ‎$gamma_{mr}(g)$‎ نمایش می دهند. در این رساله برای عدد بانداژ رومی چند کران ارائه شده و در برخی از آنها گراف هایی که مقدار دقیق کران را احراز می کنند، دسته بندی شده است. در ادامه عدد احاطه ای رومی مهارشده و عدد احاطه ای رومی ماکسیمال برای اولین بار معرفی و برای هر یک چند کران قابل وصول ارائه شده است. مقدار دقیق این پارامترها نیز در برخی از گراف ها محاسبه گردیده است.